Lời giải:

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(P^2=(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y})^2\leq (1+2x+1+2y)(1+1)=4(x+y+1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P^2\leq 4(x+y+1)\leq 4(\sqrt{2}+1)\)

\(\Rightarrow P\leq 2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)

Vậy \(P_{\max}=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Tìm min:

Vì \(x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x,y\leq 1\). Kết hợp với \(x,y\geq 0\)

\(\Rightarrow 0\leq x,y\leq 1\Rightarrow x^2\leq x; y^2\leq y\Rightarrow x^2+y^2\leq x+y\)

Do đó:

\(P^2=2+2(x+y)+2\sqrt{(1+2x)(1+2y)}\)

\(=2+2(x+y)+2\sqrt{1+2(x+y)+4xy}\geq 2+2(x^2+y^2)+2\sqrt{1+2(x^2+y^2)}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P\geq \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}+1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.

\(\sqrt{1+\sqrt{2}}.P=\sqrt{1+2x}.\sqrt{1+\sqrt{2}}+\sqrt{1+2y}.\sqrt{1+\sqrt{2}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{1+\sqrt{2}}.P\le\frac{1+2x+1+\sqrt{2}+1+2y+1+\sqrt{2}}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}P\le\frac{1+2x+1+\sqrt{2}+1+2y+1+\sqrt{2}}{2}\le\frac{4+2.\sqrt{2}+2.\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{2+2.\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Mới nghĩ ra được max. Các cao nhân ai thấy sai thì sửa hộ e nhé.

áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki 

\(P^2=\left(1.\sqrt{1+2x}+1.\sqrt{1+2y}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+2x+1+2y\right)\)

    \(=4\left(1+x+y\right)\)

Lại có \(\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.\)

\(\Rightarrow|x+y|\le\sqrt{2}.\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}+1\le1+x+y\le\sqrt{2}+1\)

\(\Rightarrow P^2\le4\left(1+x+y\right)\le4.\left(\sqrt{2}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{\sqrt{2}+1}\le P\le2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)

Vậy Max \(P=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

sorry nhìu , nếu có đk x, y>=0 thì mk mới tìm được minP=3 

nếu k phải thì mong cao nhân chỉ cho ak

Nếu sửa đề thì tìm min dễ hơn x,y>=0

\(P^2=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}.\)

\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+4xy}.\)

TỪ \(x,y\ge0,x^2+y^2=1\Rightarrow0\le x^2,y^2\le1\Leftrightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge x^2\\y\ge y^2\end{cases}\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2}\)

\(\Rightarrow P^2\ge2+2\left(x^2+y^2\right)+2\sqrt{1+2\left(x^2+y^2\right)}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}+1\)

Dấu = xảy ra x=0 y=1 hoặc ngược lại

tích mình với

ai tích mình

mình tích lại

thanks

Tích mình đi mình tích lại

ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge25\)

\(D=\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{\left(x-2\right)^2+25}}+\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y-25}{\left(y-50\right)^2+1}}\)

Vì x>=1,y>=25 => x-1>=0,y-25>=0 

=> D >= 0

Dấu "=" xảy ra <=> x=1,y=25

Vậy MinD=0 khi x=1,y=25

Ta có: \(\left(x-2\right)^2+25\ge25;\left(y-50\right)^2+1\ge1\)

=>\(\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{\left(x-2\right)^2+25}}\le\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}};\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y-25}{\left(y-50\right)^2+1}}\le\frac{1}{y}\sqrt{y-25}\)

=>\(D\le\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}}+\frac{1}{y}\sqrt{y-25}\)

Vì x>=1 => x-1>=0. Áp dụng bđt cosi với 2 số dương x-1 và 1 ta có:

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

=>\(\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}}\le\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{10}\)

Vì y>=25 => y-25>=0. ÁP dụng bđt cô si cho 2 số dương 25 và y-25 ta có:

\(\sqrt{y-25}=\frac{\sqrt{25\left(y-25\right)}}{5}\le\frac{25+y-25}{2.5}=\frac{y}{10}\)

=>\(\frac{1}{y}\sqrt{y-25}=\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{10}=\frac{1}{10}\)

Suy ra \(D\le\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=2,y=50

Vậy MaxD = 1/5 khi x=2,y=50

a.

\(y'=\dfrac{2-x}{2x^2\sqrt{x-1}}=0\Rightarrow x=2\)

\(y\left(1\right)=0\) ; \(y\left(2\right)=\dfrac{1}{2}\) ; \(y\left(5\right)=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow y_{min}=y\left(1\right)=0\)

\(y_{max}=y\left(2\right)=\dfrac{1}{2}\)

b.

\(y'=\dfrac{1-3x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}< 0\) ; \(\forall x\in\left[1;3\right]\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên [1;3]

\(\Rightarrow y_{max}=y\left(1\right)=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

\(y_{min}=y\left(3\right)=\dfrac{6}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)

c.

\(y=1-cos^2x-cosx+1=-cos^2x-cosx+2\)

Đặt \(cosx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(y=f\left(t\right)=-t^2-t+2\)

\(f'\left(t\right)=-2t-1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(-1\right)=2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow y_{min}=0\) ; \(y_{max}=\dfrac{9}{4}\)

d.

Đặt \(sinx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(y=f\left(t\right)=t^3-3t^2+2\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2-6t=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=2\notin\left[-1;1\right]\end{matrix}\right.\)

\(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(0\right)=2\)

\(\Rightarrow y_{min}=-2\) ; \(y_{max}=2\)

Akai Haruma Bonking

đúng đó trình bày lại đi xấu thật nhưng mik trình bày xấu hơn